29 oct. 2011

Impacto de meteorito contra la Tierra

Cálculo de la energía liberada por el impacto de un asteroide contra la Tierra. Caso totalmente hipotético.

Cuantificar la energía del impacto producido por un meteorito contra la Tierra es una tarea no demasiado complicada desde el punto de vista de la matemática y la física. Siempre y cuando no entremos en demasiados detalles para minimizar los errores de los datos. Al final de este escrito puse los links a dos excelentes simuladores de impacto de asteroides. En particular, en este trabajo (1) se tuvieron en cuenta gran cantidad de variables para cuantificar los daños ocasionados por la caída de una roca desde el espacio. Lo que me propongo hacer en este post es partir desde el inicio, y calcular la energía del impacto usando las leyes de la Mecánica Clásica para analizar el caso en que el impacto se dé en posición perpendicular a la superficie de la Tierra en una región ecuatorial y de forma también perpendicular al vector velocidad de traslación de la Tierra. Esto, si bien es un caso particular, no hay demasiada pérdida de generalidad, pues es justamente un caso significativo o límite.


Para comenzar, deberemos tener en cuenta la velocidad de impacto del asteroide, o mejor dicho, la velocidad que trae cuando hace contacto con la alta atmósfera. Supongamos la Tierra de masa M y radio r inmóvil en el espacio, y un meteorito de masa m mucho menor que M moviéndose en la dirección radial hacia el centro de la Tierra con velocidad v0 cuando está a una distancia arbitraria r0 mayor que r. En este caso, aplicando la conservación de la energía:

\[

\begin{gathered}

\frac{1}

{2}mv_0^2 - \frac{{GMm}}

{{r_0 }} = \frac{1}

{2}mv^2 - \frac{{GMm}}

{r} \\

m = masa\,meteorito \\

M = \,Masa\,Tierra \\

r_0 = \,Distancia\,inicial\,meteorito \\

r = \,Radio\,Tierra \\

v_0 = Velocidad\,inicial\,meteorito \\

v = Velocidad\,final\,meteorito\,antes\,impacto \\

\end{gathered}

\]
Luego, aplicando la conservación del momento lineal:

\[

\begin{gathered}

mv = \left( {m + M} \right)V \\

V = Velocidad\,sistema\,Tierra - Meteorito \\

\end{gathered}

\]

Si despejamos la velocidad de la primera ecuación nos queda:

\[

v = \sqrt {v_0^2 + 2GM\left( {\frac{1}

{r} - \frac{1}

{{r_0 }}} \right)}

\]

Se aprecia que si el meteorito viene desde el infinito, la velocidad que posee es cero (siempre que el sistema sea aislado, como se dijo) y la velocidad coincide con la fórmula de la velocidad de escape para la Tierra (11183,7 m/s). Esta sería la velocidad inferior que poseería un meteorito cuando tocase la alta atmósfera. Por otra parte, si ponemos en la fórmula la velocidad de un meteorito (venido del infinito) en caída hacia el Sol cuando pasa por la Tierra nos da 42125 m/s, y cuando está al doble de distancia del Sol que la Tierra: 29747 m/s. De modo que puede ser muy común que un meteorito inicie su “caída” hacia la Tierra a 30 o 40 mil metros sobre segundo.



Podemos calcular la parte de la energía cinética del meteorito que se transforma en energía interna del sistema (Tierra-Meteorito) después del impacto. Esta energía interna se usará para mover material de la superficie de la Tierra, y el resto se transformará mayoritariamente en calor y en luz

\[

Q = \frac{1}

{2}mv^2 - \frac{1}

{2}\left( {m + M} \right)V^2

\]

Si combinamos esta ecuación con las dos anteriores obtenemos la energía interna disipada principalmente en forma de calor y movimiento de material superficial:

\[

Q = \frac{1}

{2}m\left( {v_0^2 + 2GM\left( {\frac{1}

{r} - \frac{1}

{{r_0 }}} \right)} \right)\left( {1 - \frac{m}

{{m + M}}} \right)

\]

Bueno, supongamos que un meteorito rocoso, de densidad relativa 2,7 y de diámetros igual a 400 metros se dirija hacia la Tierra desde los límites del sistema solar. Supongamos también que cuando pase cerca de la Luna, a una distancia de 400 000 km de la Tierra, tenga una velocidad (rapidez) de 30 km/s. Y finalmente digamos que el vector velocidad o trayectoria del meteorito cumpla con los requisitos iniciales que pusimos. Entonces, si aplicamos las ecuaciones obtenemos:

Energía interna entregada al sistema Tierra-meteorito Q = 4,6x1019 J

Velocidad del meteorito en la alta atmósfera v = 31986 m/s

Velocidad del centro de masas = 4,8x10-10 m/s

Es decir, casi toda la energía del meteorito se convierte en calor y en energía mecánica de remoción de material terrestre.

Si queremos cuantificar esta energía un poco más, para poder comprenderla, podemos decir que si la bomba de Hiroshima desplegó una energía de 13 kilotones (5,4392x1013 J), este meteorito tendría una potencia de 846 mil bombas de Hiroshima. Si tomamos que 12 gramos de carbón desprende en su combustión 393 500 J, la energía cedida por este meteorito como energía interna al sistema equivaldría a la quema de 1 400 millones de toneladas de carbón.

En fin, las cifras son contundentes. Si en algo me equivoco no duden en hacérmelo saber. Elegí un valor para el radio del meteorito de 400 metros por el asteroide 2005 YU55, aunque ya sabemos afortunadamente que éste no impactará nuestra querida Tierra.

Por Mariano Miguel

Links de simulaciones de impacto de asteroides:

(1) http://www.purdue.edu/impactearth/Content/pdf/Documentation.pdf

http://www.purdue.edu/impactearth/

http://impact.ese.ic.ac.uk/cgi-bin/crater.cgi?dist=384400&diam=100&pdens=3000&pdens_select=0&vel=30&theta=90&tdens=2500&tdens_select=0

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